回顾几个有趣的小题目

One

设 , 满足 ,.

(1) 证明存在，并求其值。

(2) 求.

我们称叫做递推式，也叫迭代式。

上一步的函数值是下一步的自变量，如此循环往复。

迭代过程：

绘制图像

相当于在两条曲线的夹缝中求生存，最终的极限值趋近于 0.

数列、、单调减少，且有下界 0.

(1) 用数学归纳法证明有界.

1. 验证.

2. 设.

3. 则.

于是有下界 0.

且显然.

由单调有界准则，存在，记为.

由 , 得 , 解得 , 于是.

(2)

.

由于存在，由归结原则:.

Two

(1) 证明方程在内有唯一实根；

(2) 对于 (1) 中的，任取 , 定义 , 证明.

是超越方程，只能求得数值解，不能求得解析解，交点就在那里，可是就是不知道它是几.

相当于在两条曲线的夹缝中求生存，最终的极限值趋近于.

数列、、单调减少，且有下界.

Three

设 ,,, 证明存在且其极限是方程的根.

是超越方程解不出解析解，交点就在那里，可是就是不知道它是几。

(1) 证在内有唯一实根。

令 , 则 ,.

且.

. 单调递减.

. 唯一

(2) 证.

构造.

由拉格朗日中值定理:

数学归纳

由于

故连续放缩得

于是有界.

故.

.

即

Four

设 ,,,. 若存在，求的取值范围.

数学归纳

1..

2. 设.

3. 则

单调增加。

若存在，记为

.

于是有交点.

故时，有交点.

又时，

2. 设

3. 则.

有上界.

综上，当时，存在，且值为的根.

[注]

(1) 当时，有 2 个交点.

eg. 当时，,.

(2) 当在怎样的正数取值范围内取值时，曲线和直线必相交？

曲线和直线相交的充要条件是存在，使得 , 即

即属于的值域。由于 =0. 故只需求出的最大值则的取值范围就是.

可得唯一驻点。当时 , 当时 ,

时为在内的最大值.

由此，曲线和直线相交的充要条件是满足.